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NotaPublicado: 06 May 2015, 22:10 
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Registrado: 05 Dic 2010, 19:34
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Otra pregunta más XD

El teorema de incompletitud de Gödel, si lo he entendido bien, afirma que todo sistema lógico o axiomático posee proposiciones no demostrables. Sin embargo, ¿no es eso implícito en la noción misma de axioma?

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Buscando el mundo de la claridad. Tan nimio y tan enloquecedor.


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NotaPublicado: 07 May 2015, 00:32 
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Registrado: 10 Jun 2011, 21:52
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Lo has entendido muy mal.

Así de memoria, lo que dice Gödel es que cualquier sistema lógico que contenga la aritmética (por ejemplo la de Peano) tiene afirmaciones (no sé si proposiciones) indecidibles, es decir, no se puede comprobar si son falsas o verdaderas, o si se hiciera, en el proceso, se añadiría otra afirmación con este problema, hasta el infinito.

Los axiomas se toman como verdaderos, así que no hace falta comprobar nada, ya se sabe que son verdaderos porque se asume que lo son.

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NotaPublicado: 07 May 2015, 01:46 
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Registrado: 13 Oct 2010, 18:30
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Ubicación: Bogotá
No se trata de la validez de unos axiomas, sino qué le sucede a un sistema con unos axiomas dados. Debes entender qué es completitud y consistencia de un sistema. Al final todo depende de la recursividad y la autoreferencia. Por ejemplo la numeración Gödel es recursiva es capaz de efectuar la autoreferencia (la famosa «sentencia G» es precisamente autoreferente: «no soy demostrable en la teoría T».) Dicha autoreferencia es el origen de todos estos problemas de indecidibilidad o paradojas lógicas. ¿Conoces la paradoja del barbero? Bueno, es mas o menos lo mismo.

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Qu'est-ce que vous regardez.


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NotaPublicado: 07 May 2015, 12:43 
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Registrado: 05 Abr 2011, 13:35
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Esbozo de una filosofía zubiriana de la matemática

Guillerma Díaz Muñoz

De Actas del II Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la
Ciencia en España, ed. por Daniel Quesada y Anna Estany, (Bellaterra, 6-8 de febrero de 1997), p. 141-145.


Simplemente citar de dicho artículo:

El Teorema de Gódel (1931), al probar que hay verdades matemáticas que se imponen, no obstante la imposibilidad de su demostración o refutación dentro de un sistema formal que incluya la aritmética, provoca, al menos en gran parte, el giro zubiriano del objetivismo al realismo. Su interpretación exige, en efecto, una filosofía realista de la matemática y una nueva noción de intelección, realidad y verdad que concilie construcción e imposición. De ahí que la Trilogía sobre la intelección (Inteligencia sentiente, Inteligencia y Logos e Inteligencia y Razón) sea, además de una "noología", una filosofía de la matemática; y el Teorema de Gödel es su piedra angular. Puede hablarse de una filosofía zubiriana pregödeliana y otra post-gödeliana de la matemática y en general.

“……. Así pues, la construcción matemática no es mental o lógica, sino un proceso llevado a cabo en impresión o sentiente. Así lo prueba la imposición de nuevas propiedades no puestas o deducidas por el matemático (Teorema de Gödel).”


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NotaPublicado: 08 May 2015, 12:05 
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Registrado: 05 Dic 2010, 19:34
Mensajes: 3113
Ya veo.

Pero ¿qué necesidad hay de incluir sentencias de Gödel en los sistemas lógicos? Es decir, ¿afectan a algún aspecto fundamental de estos?

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NotaPublicado: 08 May 2015, 12:22 
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Registrado: 10 Jun 2011, 21:52
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Pasa en "cualquier sistema lógico que contenga la aritmética", si puedes vivir sin números y sin ciertos tipos de recursión entonces estás bien.

No es del todo difícil incluir la aritmética de Peano por accidente en un sistema lógico. Por ejemplo, lo que hace que la gente sean gemelos parece saltarse una generación, supongamos que sea determinista y pase siempre, y siempre saltando una generación. Es una relación transitiva del estilo:

tieneGemelo(x, f(x)), padreDe(x, y), padreDe(y, z) => tieneGemelo(z, g(z))

Con los existenciales skolemizados.

El caso es que aquí ya hemos metido el dos, hay generaciones pares y generaciones impares, unas tienen gemelos y otras no.

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NotaPublicado: 08 May 2015, 12:54 
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Registrado: 19 Ago 2014, 04:01
Mensajes: 2595
Rango personalizado: Dosyogoriano.
Creencia personal:

    Spoiler: show

      Yo expongo que Gödel demuestra: que la realidad está incompleta.

      Para que la realidad esté completa necesita de la irrealidad.


      El conjunto completo es la suma del conjunto realidad más el conjunto irrealidad: lo cual da un conjunto mayor irreal.

      Cambia la palabra realidad por lógico (ilógico), racional (irracional), ser (no-ser), existe (no-existe).



      El mismo Gödel reconoce que es absurdo dar por válido la sinrazón, el caos, la irrealidad en donde todo es posible.

      Y por lo tanto para dar validez a la realidad, la razón, el cosmos: hay que dar por hecho verdades indemostrables: lo que sería incompleto o reconocer la sin-completitud que es por sí misma la realidad.


      Como expongo: esto son valoraciones personales.


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Hay exposiciones y pensamientos discursos del lenguaje que son incoherentes, y nunca saldrán de la incoherencia porque son incoherentes, lo que puede cambiar es que se cataloguen correctamente como incoherentes.


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NotaPublicado: 08 May 2015, 13:47 
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¿A qué afecta en concreto de la aritmética?

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NotaPublicado: 08 May 2015, 14:47 
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Registrado: 12 Oct 2010, 22:46
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Ubicación: Sevilla
Jvahn lo ha explicado bien.

El primer teorema dice que una teoría formal T con ciertas características no puede ser completa y consistente por culpa de una sentencia G:
Wikipedia escribió:
For each consistent formal theory T having the required small amount of number theory, the corresponding Gödel sentence G asserts: "G cannot be proved within the theory T". This interpretation of G leads to the following informal analysis. If G were provable under the axioms and rules of inference of T, then T would have a theorem, G, which effectively contradicts itself, and thus the theory T would be inconsistent. This means that if the theory T is consistent then G cannot be proved within it, and so the theory T is incomplete.

Gödel: "Esta frase no puede ser demostrada como cierta (o si se demostrase, habría una contradicción)".
Paradoja del mentiroso: "Esta frase no puede ser considerada como cierta (o si se considerase así, habría una contradicción."
Pero esto no tiene ninguna repercusión ni plantea ningún misterio. La versión más simple de este fenómeno sería "No a esto". Una negación que se niega a sí misma.

Esto sí me resulta más raro:
Wikipedia escribió:
Moreover, the claim G makes about its own unprovability is correct. In this sense G is not only unprovable but true, and provability-within-the-theory-T is not the same as truth.

Creo que se puede conseguir un efecto parecido con:
"No puedo estar seguro de que lo que dice esta frase sea verdad". Si estuviese seguro de lo que dice la frase, entonces no podría estarlo. Pero si no estoy seguro de que no puedo estar seguro, entonces no puedo estar seguro. Luego parecería que la frase es completamente verdadera a pesar de no poder estar seguro de ella.


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NotaPublicado: 08 May 2015, 15:32 
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Mensajes: 4655
Siflun escribió:
Jvahn lo ha explicado bien.


¿Y dónde está la aritmética? Gödel no la puso por vicio.

Los problemas de autorreferencia de los que estáis hablando los "resolvió" Bertrand Russell, con tipos. En la wikipedia os lo explican: http://en.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica

No mezcléis... Los teoremas de indecidibilidad de Gödel parten de ahí para evitar paradojas, pero aun con esas, la aritmética causa problemas.

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